\chapter{拉格朗日(1777)椭球体方程的推导}

		\begin{abstract}
			本文详细重现了约瑟夫-路易·拉格朗日于1777年对椭球体方程的开创性推导过程。通过分析旋转椭球体的几何特性，并运用早期变分法原理，拉格朗日建立了描述椭球体平衡形态的微分方程。这项工作为后续流体自转平衡理论研究奠定了基础。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		在1777年发表的经典论文中，拉格朗日首次系统研究了均匀密度流体在自转情况下的平衡形状问题。他证明在引力与离心力共同作用下，天体的平衡形状应为旋转椭球体，并给出了严格的数学推导。
		
		\section{几何预备}
		考虑一个旋转椭球体，其表面方程可表示为：
		
		\begin{equation}
			\frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
		\end{equation}
		
		其中$a$为赤道半径，$c$为极半径。引入扁率参数：
		
		\begin{equation}
			\epsilon = \frac{a - c}{a}
		\end{equation}
		
		\section{拉格朗日的推导过程}
		\subsection{力学平衡条件}
		拉格朗日考虑流体微元受到两种力的作用：
		\begin{itemize}
			\item 引力势：$\Phi_g = -\frac{GM}{r}$
			\item 离心势：$\Phi_c = -\frac{1}{2}\omega^2(x^2 + y^2)$
		\end{itemize}
		
		总势能面必须为等势面，即：
		
		\begin{equation}
			\Phi_g + \Phi_c = \text{常数}
		\end{equation}
		
		\subsection{变分法处理}
		通过变分原理，拉格朗日极小化以下泛函：
		
		\begin{equation}
			\mathcal{J} = \int_V \left( \rho\Phi_g + \frac{1}{2}\rho\omega^2r^2\sin^2\theta \right) dV
		\end{equation}
		
		约束条件为体积守恒：
		
		\begin{equation}
			V = \frac{4\pi}{3}a^2c
		\end{equation}
		
		\subsection{微分方程建立}
		经过变分运算，得到平衡形状满足的微分方程：
		
		\begin{equation}
			\frac{dP}{dr} = -\rho\frac{d\Phi}{dr} + \rho\omega^2r\sin^2\theta
		\end{equation}
		
		其中$P$为流体静压力。
		
		\section{椭球体解}
		拉格朗日证明上述方程的解对应于椭球体形状。通过级数展开并保留一阶小量，得到扁率与角速度的关系：
		
		\begin{equation}
			\epsilon \approx \frac{5\omega^2a^3}{4GM}
		\end{equation}
		
		这一结果与后来的麦克劳林椭球理论一致。
		
		\section{结论}
		拉格朗日的推导具有以下重要意义：
		\begin{itemize}
			\item 首次严格证明了自转流体的平衡形状为椭球体
			\item 建立了旋转天体形状分析的基本框架
			\item 为后续达尔文-瑞利理论奠定了基础
		\end{itemize}
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{lagrange1777} 
			Lagrange, J. L. (1777). "Sur l'équation séculaire de la lune". \emph{Mémoires de l'Académie royale des sciences de Paris}.
			
			\bibitem{chandrasekhar1969} 
			Chandrasekhar, S. (1969). \emph{Ellipsoidal Figures of Equilibrium}. Yale University Press.
			
			\bibitem{lebovitz1998}
			Lebovitz, N. R. (1998). "The Mathematical Development of the Classical Ellipsoids". \emph{International Journal of Engineering Science}.
		\end{thebibliography}

\chapter{椭球体引力理论的奠基性工作：拉格朗日势函数与拉普拉斯方程（1777-1778）}
	
	\begin{abstract}
		本文分析了约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在1777年对椭球体引力势的数学推导，以及皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）于1778年建立的椭球体引力场方程。这两项工作标志着经典天体力学中非球对称引力场定量研究的开端，为后世行星形状学和地球重力场理论奠定了基础。拉格朗日首次给出均匀椭球体外部位势的解析表达式，拉普拉斯则推导出其满足的偏微分方程，共同构成引力理论的重要里程碑。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	18世纪天体力学的发展亟需解决非球形天体的引力场计算问题。牛顿在《自然哲学的数学原理》中已指出旋转会导致行星呈扁球状，但未给出数学描述。1777年，拉格朗日首次完成均匀椭球体引力势的严格推导；1778年，拉普拉斯在此基础上建立其控制方程，二者共同推动位势理论的飞跃。
	
	\section{拉格朗日的椭球体引力势（1777）}
	1777年，拉格朗日在柏林科学院发表论文，采用椭球坐标系解决了均匀密度椭球体的引力势计算。其核心贡献包含：
	
	\subsection{数学方法}
	\begin{enumerate}
		\item 引入共焦椭球坐标系 $(\lambda, \mu, \nu)$，其中$\lambda$常数对应一族共焦椭球面
		\item 通过积分变换将笛卡尔坐标下的势函数转化为：
		\begin{equation}
			\Phi(\mathbf{r}) = -\frac{3GM}{4\pi} \iiint \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}  d\mathbf{r'}
		\end{equation}
		\item 对均匀椭球体（半轴 $a>b>c$），证明外部势函数可简化为：
		\begin{equation}
			\Phi(\lambda) = \frac{3GM}{abc} \int_\lambda^\infty \left(1 - \sum_{k=1} \frac{x_k^2}{a_k^2 + u}\right) \frac{du}{\sqrt{(a^2+u)(b^2+u)(c^2+u)}}
		\end{equation}
	\end{enumerate}
	
	\subsection{物理意义}
	该表达式表明：
	\begin{itemize}
		\item 引力势在共焦椭球面上保持恒定
		\item 无穷远处退化为点质量势 $\Phi \sim -GM/r$
		\item 为麦克劳林椭球体平衡理论提供数学支撑
	\end{itemize}
	
	\section{拉普拉斯的椭球体方程（1778）}
	1778年，拉普拉斯在法国科学院论文中深化该研究，其突破在于：
	
	\subsection{方程推导}
	\begin{enumerate}
		\item 从牛顿引力定律出发，得到引力势的普遍形式：
		\begin{equation}
			\nabla^2 \Phi = \nabla \cdot (\nabla \Phi) = -4\pi G\rho
		\end{equation}
		\item 在椭球体外无源区域 $(\rho=0)$ 简化为：
		\begin{equation}
			\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} = 0
		\end{equation}
		\item 在椭球坐标系下，该方程可分离变量为：
		\begin{equation}
			\sum_{i=1} \frac{\partial}{\partial \xi_i} \left[ (\xi_j - \xi_k) \frac{\partial \Phi}{\partial \xi_i} \right] = 0 \quad (i,j,k\ \text{轮换})
		\end{equation}
	\end{enumerate}
	
	\subsection{理论扩展}
	\begin{itemize}
		\item 证明拉格朗日势函数满足该方程
		\item 首次提出椭球谐函数概念
		\item 建立旋转流体平衡形状的判据
	\end{itemize}
	
	\section{历史影响}
	两项工作形成完整理论链条：
	\begin{itemize}
		\item 拉格朗日势函数提供\textbf{积分表达式}
		\item 拉普拉斯方程给出\textbf{微分控制律}
		\item 共同启发了19世纪勒让德球谐函数的发展
		\item 为克莱罗大地测量学方程奠定基础
	\end{itemize}
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{Lag1777} Lagrange J L. \textit{Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques}. Mémoires de l'Académie de Berlin, 1777.
		\bibitem{Lap1778} Laplace P S. \textit{Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes}. Mémoires de l'Académie des Sciences, 1778.
	\end{thebibliography}
